¿que  son ecuaciones e inecuaciones ?

Las ecuaciones son expresiones algebraicas que incluyen una igualdad (=). Como seguro que recordáis, las expresiones algebraicas son aquellas que se componen de datos (números) e incógnitas (que puede ser x, ó y, ó…).

Las ecuaciones incluyen la igualdad mencionada antes porque es una herramienta que sirve para comparar. Realmente cuando resolvemos una ecuación estamos haciendo (sin ser conscientes muchas veces) la pregunta “¿Qué punto ó puntos tienen en común la expresión que está a la izquierda de la igualdad con la expresión que está a la derecha de la igualdad?”

Visión gráfica del sistema de ecuaciones y=x^2-1 e y=x+2, en el que los puntos A y B son la solución

Hay múltiples tipos de ecuaciones: de primer grado, de segundo grado, de grado n, logarítmicas, trigonométricas, exponenciales, sistemas de ecuaciones…

Lo importante en este caso es que quede muy claro que con las ecuaciones hallamos puntos, desde uno en los casos más fáciles, hasta infinitos puntos, pasando por el caso en el que no hay solución y por tanto no existe ningún punto que la cumpla.

Por otra parte tenemos las inecuaciones, que las podemos definir como una expresión algebraica que incluye una desigualdad. Recordemos que las desigualdades son:

• ≥ : Mayor o igual
• > : Mayor estrictamente
• ≤ : Menor o igual
• < : Menor estrictamente

Pues bien, la diferencia más esencial entre ecuaciones e inecuaciones, es que mientras que las ecuaciones calculan puntos como hemos dicho antes, las inecuaciones calculan semiplanos (o lo que es lo mismo, trozos de plano).

Por ejemplo, recordando que estamos hablando de inecuaciones en un plano, si tenemos como resultado x<0, lo tenemos que interpretar como todos los puntos (x,y) del plano cuya x sea negativa. Si nos fijamos, todos esos puntos juntos formarían el semiplano izquierdo, es decir, el trozo de plano completo que queda a la izquierda del eje y.

Fijaos que ha sido importante recalcar lo de que estamos trabajando en un plano, porque así el resultado es un semiplano. Si por ejemplo hubiéramos estado trabajando en una recta, el caso x<0 su resultado sería una semirrecta, porque los valores de x que lo cumplirían serían x=-1, x=-2, x=-3, x=-1’2, x=-1’27…

El cálculo de inecuaciones es muy similar al de ecuaciones. Tan solo hay que tener cuidado con los posibles cambios de desigualdad y, dado el caso en el que sea necesario, discutir los intervalos de puntos que son solución y los que no lo son.

Siempre es bueno saber lo que realmente estamos haciendo en matemáticas, y concretamente con el cálculo de este tipo de operaciones que más o menos todos sabemos resolver al menos sus casos más esenciales, este hecho no ocurre siempre, y al final se acaban resolviendo de forma mecánica y sin ser conscientes de muchas de sus verdaderas utilidades.

inecuaciones con 2 variables

Su solución es uno de los semiplanos que resulta de representar la ecuación resultante, que se obtiene al transformar la desigualdad en una igualdad.

2x + y ≤ 3

1º Transformamos la desigualdad en igualdad.

2x + y = 3

2º Damos a una de las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos puntos.

x = 0;     2 · 0 + y = 3;   y = 3;          (0, 3)

x = 1;     2 · 1 + y = 3;   y = 1;          (1, 1)

3º Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.

4º Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la desigualdad. Si se cumple, la solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución será el otro semiplano.

2x + y ≤ 3

2 · 0 + 0 ≤ 3       0 ≤ 3      Sí

2x + y > 3

2 · 0 + 0 > 3       0 > 3      No

En este caso (mayor que, pero no igual) los puntos de la recta no pertenecen a la solución.

Inecuaciones 

Del mismo modo en que se hace la diferencia de igualdad y ecuación, una inecuación que es válida para todas las variables se llama inecuación incondicional y las que son válidas solo para algunos valores de las variables se conocen como inecuaciones condicionales.¹ Los valores que verifican la desigualdad, son sus soluciones
Una igualdad es una oración matemática que contiene signo de igual. Por ejemplo:
 
                        6 + 4  = 10
                        x + 6 = 10
 
Una igualdad que tiene variable ( valor desconocido o incógnita)  se llama ecuación. Por ejemplo:
                        x + 6 = 10
Una desigualdad es una oración matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son:
      - no es igual
 <    - menor que
 >    - mayor que
     - menor o igual que
     - mayor o igual que
 
Una desigualdad que tiene variable se llama inecuación. Por ejemplo:
 
                x + 3 < 7
(La punta del signo < siempre señala el menor)
Ej.  3 < 4,       4 > 3
 
¿Cómo resolvemos una inecuación? Para esto tenemos que observar propiedades de las desigualdades. Por ejemplo:
                        1 < 6
                1 + 5 < 6 + 5
¿Esto es cierto? Sí. Así que podemos sumar en ambos lados de una desigualdad y sigue cierta.
 
Otro ejemplo:
                    2 < 6
                2 + -9 < 6 + -9
Esto es también cierto. Sigue cierta la desigualdad al sumar en ambos lados un número negativo.
 
Otro ejemplo con resta:
                7 > 4
            7 - 3 > 4 - 3
La desigualdad sigue siendo cierta al restar un número negativo.
 
Aquí tenemos otro ejemplo pero esta vez restando un número negativo en ambos lados de la desigualdad:
            2 < 8
        2 - (-3) < 8 - (-3)     Restar un número es igual que sumar su opuesto.
        2 + 3    <  8 + 3
                5   < 11
La desigualdad es cierta al restar un número negativo de ambos lados

 
Multiplicación con números positivos:
        3 < 7
   3 · 6 < 7 · 6
La desigualdad es cierta al multiplicar un números positivos en ambos lados.

 
Multiplicación con números negativos:
    4 > 1
  4 · -2 > 1 · -2
 -8 > -2   falso
 
Nota: La desigualdad  cambia en este caso, ya que -8 no es mayor que -2. En el caso que se multiplique por un número negativos en ambos lados de una desigualdad, el signo se invierte:
-8 < - 2
Ahora, la desigualdad es cierta.
 
División con positivos:
         3 < 9
     3  <  9      Si dividimos ambos lados de la desigualdad por 3
      3      3
        1 < 3
La desigualdad es cierta.
 
División con negativos:
 
   4 < 12
  4  < 12    Si dividimos ambos lados de la desigualdad por -2
 -2      -2
-2 < -6    falso
La desigualdad es falsa. Por lo tanto, debemos invertir el signo.
-2  >  -6
Ahora la desigualdad es cierta.
 
En resumen, se invierte el signo cuando se multiplica o se divide una desigualdad por un número negativo.
 
Ejemplos:
Resolver la siguiente inecuación para verificar si el número dado es solución.
 
Ejemplo 1:      x + 3 < 6     ;  x = 5
 
                 x + 3 < 6    [Ahora, se sustituye x por 5.]
                    5 + 3<6     [ Simplificar]
                    8 < 6
¿ 8 es menor que 6? No. Entonces, 5 no es una solución.
 
Ejemplo 2:       x  - 3   8      ;      x = 11
                        11 - 3  8
                            8   8
¿8 es mayor que 8? No, pero 8 sí es igual a 8. Así que es cierta la inecuación y podemos concluir que x=11 es una solución.

 
Ejemplos:
Resolver la inecuación.
Ejemplo 1:
                 x + 4 < 7                               Hay que resolver la inecuación
                       x < 7 + - 4                     Combinar los términos semejantes.
                                                              Encontrar los valores de x.
                       x < 3
Quiere decir, que x es menor que 3. Algunas soluciones son 2, 2.5, 2.7, 1, 0, etc. Todos los números menores que 3 son soluciones de esta inecuación. Quiere decir que el conjunto de soluciones de esta inecuación es un conjunto infinito.
 
Ejemplo 2:
                x - 9  8
                     x  9 + 8
                     x  17
x es mayor o igual a 17 es la solución.

 
Ejemplo 3:
                3x < 5                Para deshacer la multiplicación de la x por 3,
              3x < 12               dividimos por 3 en ambos lados de la inecuación
                3      3
                x < 4
Entonces, x es menor que 4 es la solución.

 
Ejemplo 4:
             -2x  -6                Para deshacer la multiplicación de x por -2, se 
             -2x  -6                  divide ambos lados de la inecuación por -2.
              -2     -2
                 x  3                
Como el número dividido era negativo, se invierte el signo.

 
Ejemplo 5:
    3x - 1   2x + 4                    Hay que combinar términos semejantes.
3x + -2x   1 + 4                      Resolver.
           x  5

 
Ejemplo 6:
           4x + 9   6x - 9

           4x + 9   6x + - 9   
        4x + -6x   -9 + -9
                -2x  -18
                 -2       -2

                   x  9 

Resolviendo Desigualdades
 
Ejemplo:  Resolver   x - 3 > 2.
                       x - 3 > 2
                    x + - 3 >2
Recuerda que restar un número es igual que sumarse el opuesto.
                    x + -3 + 3 > 2 + 3
                            x + 0 > 5
                                            x > 5
Se resuelve tal como si fuera una ecuación, pero teniendo en cuenta los signos > , < ,  , ,  . y las propiedades de la desigualdades.

 Ejemplo:
            2x - 4  3x + 1
           2x + -4  3x + 1
         2x + -3x  4 + 1
                   -x  5
                    x  -5

 Ejemplo:
Resolver  -2x  -34.      
                  -2x   -34            Al dividir ambos las por un número negativo, el signo
                  -2      -2             de  se invierte a .
                    x  17

  
Ejercicios de Práctica:
 
A. Verificar que el número dado hace cierta la ecuación.
1.    x > 3     ;   5
2.   x + 7  2     ; -8
3.  2x + 3  7x + 1     ; 2
4. 3x - 2   x + 7  ; 1
5.  6x  18 ;   3


 
C. Resuelva.
 
1.  x + 7 > 9
2. 2x + 3  x + 6
3. -6x + 7  x + 9
4. -6x   -72
5. 1 x - 9  > 2 x + 6
    3             3
6. -6x + 9 < -2x + 8
7.  -2x + 8  12

 
Soluciones:
 
A.
    1.              x > 3 ; 5
                    5 > 3    Esto hace cierta la ecuación.
    2.             x + 7  2 ; -8
                    -8 + 7  2
                    -1  2   Esto no hace cierta la ecuación.
    3.             2x + 3  7x + 1;   2
                    2(2) + 3  7(2) + 1
                    4 + 3  14 + 1
                    7  15   Esto no hace cierta la ecuación.
    4.              3x - 2  x + 7 ;  1
                    3(1) - 2   1 + 7
                    3 - 2  1 + 7
                    1  8  Esto hace cierta la ecuación.
    5.             6x  18 ;  3
                    6(3)  18
                    18  18  Esto no hace cierta la ecuación.

 
B. Resuelva.
    1.                 x + 7 > 9
                x + 7 + -7 > 9 + - 7
                        x + 0 > 2
                              x > 2
 
    2.            2x + 3  x + 6
                  2x + - x  -3 + 6
                             x  3

    3.             -6x + 7  x + 9
                    -6x + -x  -7 + 9
                            -7x   2
                           -7      -7
                             x   - 2
                                              7
    4.             -6x  -72
                    -6x  -72
                     -6     -6
                       x   12
 
    5.           1 x - 9  > 2 x + 6
                  3             3
               1 x + -9  > 2 x + 6
               3                3
                  1x + - 2 > 9 + 6
                  3        3
                  -1 x > 15
                   3
              (3) -1 x  > 15(3)
                    3
                    -x >  45    (divide por -1 en ambos lados y se invierte el signo)
                     x < -45

 
6.            - 6x + 9 < - 2x + 8
                -6x + 2x <  -9 + 8
                -4x < -1
                -4      -4
                x > 1
                      4
 
7.              -2x + 8  12
                       -2x  12 + -8
                       -2x  4
                       -2     -2
                         x  -2