Inecuaciones 

Del mismo modo en que se hace la diferencia de igualdad y ecuación, una inecuación que es válida para todas las variables se llama inecuación incondicional y las que son válidas solo para algunos valores de las variables se conocen como inecuaciones condicionales.¹ Los valores que verifican la desigualdad, son sus soluciones
Una igualdad es una oración matemática que contiene signo de igual. Por ejemplo:
 
                        6 + 4  = 10
                        x + 6 = 10
 
Una igualdad que tiene variable ( valor desconocido o incógnita)  se llama ecuación. Por ejemplo:
                        x + 6 = 10
Una desigualdad es una oración matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son:
      - no es igual
 <    - menor que
 >    - mayor que
     - menor o igual que
     - mayor o igual que
 
Una desigualdad que tiene variable se llama inecuación. Por ejemplo:
 
                x + 3 < 7
(La punta del signo < siempre señala el menor)
Ej.  3 < 4,       4 > 3
 
¿Cómo resolvemos una inecuación? Para esto tenemos que observar propiedades de las desigualdades. Por ejemplo:
                        1 < 6
                1 + 5 < 6 + 5
¿Esto es cierto? Sí. Así que podemos sumar en ambos lados de una desigualdad y sigue cierta.
 
Otro ejemplo:
                    2 < 6
                2 + -9 < 6 + -9
Esto es también cierto. Sigue cierta la desigualdad al sumar en ambos lados un número negativo.
 
Otro ejemplo con resta:
                7 > 4
            7 - 3 > 4 - 3
La desigualdad sigue siendo cierta al restar un número negativo.
 
Aquí tenemos otro ejemplo pero esta vez restando un número negativo en ambos lados de la desigualdad:
            2 < 8
        2 - (-3) < 8 - (-3)     Restar un número es igual que sumar su opuesto.
        2 + 3    <  8 + 3
                5   < 11
La desigualdad es cierta al restar un número negativo de ambos lados

 
Multiplicación con números positivos:
        3 < 7
   3 · 6 < 7 · 6
La desigualdad es cierta al multiplicar un números positivos en ambos lados.

 
Multiplicación con números negativos:
    4 > 1
  4 · -2 > 1 · -2
 -8 > -2   falso
 
Nota: La desigualdad  cambia en este caso, ya que -8 no es mayor que -2. En el caso que se multiplique por un número negativos en ambos lados de una desigualdad, el signo se invierte:
-8 < - 2
Ahora, la desigualdad es cierta.
 
División con positivos:
         3 < 9
     3  <  9      Si dividimos ambos lados de la desigualdad por 3
      3      3
        1 < 3
La desigualdad es cierta.
 
División con negativos:
 
   4 < 12
  4  < 12    Si dividimos ambos lados de la desigualdad por -2
 -2      -2
-2 < -6    falso
La desigualdad es falsa. Por lo tanto, debemos invertir el signo.
-2  >  -6
Ahora la desigualdad es cierta.
 
En resumen, se invierte el signo cuando se multiplica o se divide una desigualdad por un número negativo.
 
Ejemplos:
Resolver la siguiente inecuación para verificar si el número dado es solución.
 
Ejemplo 1:      x + 3 < 6     ;  x = 5
 
                 x + 3 < 6    [Ahora, se sustituye x por 5.]
                    5 + 3<6     [ Simplificar]
                    8 < 6
¿ 8 es menor que 6? No. Entonces, 5 no es una solución.
 
Ejemplo 2:       x  - 3   8      ;      x = 11
                        11 - 3  8
                            8   8
¿8 es mayor que 8? No, pero 8 sí es igual a 8. Así que es cierta la inecuación y podemos concluir que x=11 es una solución.

 
Ejemplos:
Resolver la inecuación.
Ejemplo 1:
                 x + 4 < 7                               Hay que resolver la inecuación
                       x < 7 + - 4                     Combinar los términos semejantes.
                                                              Encontrar los valores de x.
                       x < 3
Quiere decir, que x es menor que 3. Algunas soluciones son 2, 2.5, 2.7, 1, 0, etc. Todos los números menores que 3 son soluciones de esta inecuación. Quiere decir que el conjunto de soluciones de esta inecuación es un conjunto infinito.
 
Ejemplo 2:
                x - 9  8
                     x  9 + 8
                     x  17
x es mayor o igual a 17 es la solución.

 
Ejemplo 3:
                3x < 5                Para deshacer la multiplicación de la x por 3,
              3x < 12               dividimos por 3 en ambos lados de la inecuación
                3      3
                x < 4
Entonces, x es menor que 4 es la solución.

 
Ejemplo 4:
             -2x  -6                Para deshacer la multiplicación de x por -2, se 
             -2x  -6                  divide ambos lados de la inecuación por -2.
              -2     -2
                 x  3                
Como el número dividido era negativo, se invierte el signo.

 
Ejemplo 5:
    3x - 1   2x + 4                    Hay que combinar términos semejantes.
3x + -2x   1 + 4                      Resolver.
           x  5

 
Ejemplo 6:
           4x + 9   6x - 9

           4x + 9   6x + - 9   
        4x + -6x   -9 + -9
                -2x  -18
                 -2       -2

                   x  9 

Resolviendo Desigualdades
 
Ejemplo:  Resolver   x - 3 > 2.
                       x - 3 > 2
                    x + - 3 >2
Recuerda que restar un número es igual que sumarse el opuesto.
                    x + -3 + 3 > 2 + 3
                            x + 0 > 5
                                            x > 5
Se resuelve tal como si fuera una ecuación, pero teniendo en cuenta los signos > , < ,  , ,  . y las propiedades de la desigualdades.

 Ejemplo:
            2x - 4  3x + 1
           2x + -4  3x + 1
         2x + -3x  4 + 1
                   -x  5
                    x  -5

 Ejemplo:
Resolver  -2x  -34.      
                  -2x   -34            Al dividir ambos las por un número negativo, el signo
                  -2      -2             de  se invierte a .
                    x  17

  
Ejercicios de Práctica:
 
A. Verificar que el número dado hace cierta la ecuación.
1.    x > 3     ;   5
2.   x + 7  2     ; -8
3.  2x + 3  7x + 1     ; 2
4. 3x - 2   x + 7  ; 1
5.  6x  18 ;   3


 
C. Resuelva.
 
1.  x + 7 > 9
2. 2x + 3  x + 6
3. -6x + 7  x + 9
4. -6x   -72
5. 1 x - 9  > 2 x + 6
    3             3
6. -6x + 9 < -2x + 8
7.  -2x + 8  12

 
Soluciones:
 
A.
    1.              x > 3 ; 5
                    5 > 3    Esto hace cierta la ecuación.
    2.             x + 7  2 ; -8
                    -8 + 7  2
                    -1  2   Esto no hace cierta la ecuación.
    3.             2x + 3  7x + 1;   2
                    2(2) + 3  7(2) + 1
                    4 + 3  14 + 1
                    7  15   Esto no hace cierta la ecuación.
    4.              3x - 2  x + 7 ;  1
                    3(1) - 2   1 + 7
                    3 - 2  1 + 7
                    1  8  Esto hace cierta la ecuación.
    5.             6x  18 ;  3
                    6(3)  18
                    18  18  Esto no hace cierta la ecuación.

 
B. Resuelva.
    1.                 x + 7 > 9
                x + 7 + -7 > 9 + - 7
                        x + 0 > 2
                              x > 2
 
    2.            2x + 3  x + 6
                  2x + - x  -3 + 6
                             x  3

    3.             -6x + 7  x + 9
                    -6x + -x  -7 + 9
                            -7x   2
                           -7      -7
                             x   - 2
                                              7
    4.             -6x  -72
                    -6x  -72
                     -6     -6
                       x   12
 
    5.           1 x - 9  > 2 x + 6
                  3             3
               1 x + -9  > 2 x + 6
               3                3
                  1x + - 2 > 9 + 6
                  3        3
                  -1 x > 15
                   3
              (3) -1 x  > 15(3)
                    3
                    -x >  45    (divide por -1 en ambos lados y se invierte el signo)
                     x < -45

 
6.            - 6x + 9 < - 2x + 8
                -6x + 2x <  -9 + 8
                -4x < -1
                -4      -4
                x > 1
                      4
 
7.              -2x + 8  12
                       -2x  12 + -8
                       -2x  4
                       -2     -2
                         x  -2