Posición relativa entre una recta y una parábola

Las posibles posiciones relativas de una parábola y una recta son: 1.- La recta es tangente a la parábola. En este caso su intersección es un punto. 2.- La recta es secante. En este caso su intersección son dos puntos. 3.- La recta sólo corta en un solo punto si la recta es paralela al eje de simetría de la parábola. 4.- La recta no corta a la parábola, es decir, es exterior a la parábola. En este caso no hay ningún punto común a ambas. La función cuadrática más básica y simple tiene la ecuación . Si hacemos una tabla con los valores de esta función, vemos que elrango (los valores de y, o salida) no se comportan como una función lineal. En una función lineal, el valor de y cambia por la misma cantidad cada vez que el valor de x aumenta por 1. Eso no sucede con una función cuadrática: x y = x2 -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 Los valores de y no cambian por una cantidad constante. Grafiquemos algunos puntos para ver cómo se vería la función: Después de graficar algunos puntos, podría ser tentador conectar los puntos con segmentos de línea, que son rectos. Pero esto estaría mal, y produciría un patrón que no representa la función. Borremos esas líneas rectas y grafiquemos el resto de los puntos: Ahora dibujamos una curva suave conectando los puntos. Una función cuadrática resulta en una gráfica con forma de U, llamada parábola. Los valores de la función cambian suavemente, por lo que la curva debe ser suave también. Ahora que podemos ver la naturaleza de la parábola (forma de U). Otra forma de graficar una parábola es usando lo que sabemos sobre el vértice y el eje de simetría. Sabemos que el vértice es el punto donde la parábola cambia de dirección. Y sabemos que cada punto de un lado del eje de simetría tiene un punto equivalente en el otro lado, a la misma distancia del eje y con la misma coordenada y. Si encontramos el vértice y algunos puntos de un lado, tendremos todo lo necesario para dibujar una gráfica. Ejemplo Problema Usar el vértice y el eje de simetría para graficar . Como el coeficiente x2es positivo, la parábola abre hacia arriba a = 2 b = 2 Para encontrar el vértice, encontrar los valores de a  y b. Son los coeficientes de los términos x2 y xcuando la ecuación cuadrática se escribe en su forma estándar Encontrar la coordenada x del vértice sustituyendo los valores de a y b en la fórmula del vértice   Encontrar la coordenada y del vértice sustituyendo el valor de x en la ecuación original Graficar el vértice (-0.5, -12.5) y dibujar el eje de simetría x = -0.5. Graficar dos puntos en un lado del eje de simetría, como (0, -12) y (1, -8). Nota: Podemos elegir cualquier valor de x que queramos; x = 0 yx = 1 son normalmente buenos porque los cálculos tienden a ser fáciles. Para encontrar los valores de y, sustituir los valores de x que hemos escogido en la función y resolverla Dibujar los puntos correspondientes del otro lado del eje de simetría Solución Terminar la parábola dibujando una curva suave que conecte todos los puntos

Funciones cuadráticas

En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como: Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma: f(x) = ax2 + bx + c donde a, b y c son números reales.

Este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:

Ejemplos:

• 9x² + 6x + 10 = 0        a = 9, b = 6, c = 10
• 3x²  – 9x  + 0  = 0        a = 3, b = –9, c = 0  (el cero, la c, no se escribe, no está)
• –6x² + 0x + 10 = 0       a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe)

1._solución por factorización

En toda ecuación  cuadrática uno  de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios.

Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de( x) de cada uno.

Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.

1) Resolver

(x + 3)(2x − 1) = 9

Lo primero es igualar la ecuación a cero.

Para hacerlo, multiplicamos los binomios:

Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:

Ahora podemos factorizar esta ecuación:

(2x − 3)(x + 4) = 0

Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las incógnitas:

2x − 3 = 0

2x = 3

x + 4 = 0

x = −4

Algunos ejercicios: Resolver cada ecuación por el método de factorización:

2.Solucion por completacion de cuadrados

Se llama método de la completación de cuadrados porque se puede completar un cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo:

(ax + b)² = n

-en la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)², es el cuadrado de la suma de un binomio.

Partiendo de una ecuación del tipo

x² + bx + c = 0

por ejemplo, la ecuación

x² + 8x = 48, que también puede escribirse   x² + 8x − 48 = 0

Al primer miembro de la ecuación (x² + 8x) le falta un término para completar el cuadrado de la suma de un binomio del tipo
(ax + b)²

Que es lo mismo que

(ax + b) (ax + b)

Que es lo mismo que

(ax)² + 2axb + b²

En nuestro ejemplo

x² + 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo tanto, ese número debe ser obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como en el cuadrado de la suma de un binomio ( a² + 2ab + b²) el tercer término corresponde al cuadrado del segundo término (4² = 16) amplificamos ambos miembros de la ecuación por 16, así tenemos

x² + 8x + 16 = 64

la cual, factorizando, podemos escribir como sigue:

(x + 4) (x + 4) = 64

Que es igual a

(x + 4)² = 64

Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos

 Nos queda

x + 4 = 8

Entonces

x = 8 − 4

x = 4

Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la ecuación se logró obtener la expresión (x + 4)², que es el cuadrado perfecto de un binomio.

Veamos otro ejemplo:

Partamos con la ecuación

x² + 6x − 16 = 0

Hacemos

x² + 6x = 16

Luego, a partir de la expresión x² + 6x (primer miembro de la ecuación) debemos obtener una expresión de la forma (ax + b)² (cuadrado de la suma de un binomio).

Para encontrar el término que falta hacemos 
(Para encontrar dicho término en cualquier ecuación siempre debemos dividir por  2 el valor real del segundo término y el resultado elevarlo al cuadrado).

Ahora, para obtener la expresión completa se suma 9 a ambos miembros de la ecuación:

x² + 6x = 16

x² + 6x + 9 = 16 + 9

x² + 6x  + 9 = 25

factorizamos, y queda

(x +3) (x + 3) = 25

(x + 3)² = 25

La expresión x² + 6x se ha completado para formar un cuadrado perfecto, en este caso (x + 3)², y así la ecuación se resuelve con facilidad:

Extraemos raíz cuadrada

, y queda

x + 3 = 5   y  x + 3 = −5

(pues  5² = 5  y también (−5)² = 5

Entonces

x = 5 − 3 

x = 2

Y

x = − 5 − 3

x = − 8

 La  ecuación 1 da  x = 2   y la ecuación 2 da  x = −8.

Otro  ejemplo para analizar y estudiar:

Resolver la ecuación: x² – 6x + 8 = 0

Veamos: Con los términos x² y –6x podemos formar el cuadrado de binomio (x – 3)² , pero nos faltaría el término igual a 9, por lo tanto, dejamos las equis (x) a la izquierda y pasamos el 8 a la derecha de la igualdad:

x² – 6x = − 8 
y sumamos 9 a ambos lados de la igualdad para que a la izquierda se forme el cuadrado de binomio:

¿Cómo encontramos el término que falta?, haciendo

x² – 6x = −8       /+9 (sumamos 9 en ambos miembros de la ecuación)

x² − 6x + 9 = − 8 + 9

(x – 3)² = 1

Extraemos las raíces cuadradas

y queda

x – 3 = 1    y   x − 3 = −1

Si

x – 3 = 1

x = 1 + 3

x = 4

Si

 x – 3 = −1

x = −1 + 3

x = 2

Por lo tanto  x₁ = 4 y  x₂ = 2

Debemos hacer notar que el método de completar cuadrados terminará en lo mismo que la fórmula general, porque es de este método de donde sale dicha fórmula, usada en el método que vemos a continuación.

3._Solución por formula general

Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que es la siguiente:

La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos (−)  antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a identificar las letras a, b y  c y sustituir sus valores en la fórmula.

La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuación de segundo grado, seacompleta o incompleta, y obtener buenos resultados tiene que ver con las técnicas de factorización.

Ejemplo:  

Resolver la ecuación  2x² + 3x − 5 = 0

Vemos claramente que a = 2,     b = 3   y     c = −5, así es que:

Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el − :

  y también      

Así es que las soluciones son .